miércoles, 11 de junio de 2014
martes, 6 de mayo de 2014
miércoles, 30 de abril de 2014
Problemas de olimpiadas 2014
OMA.
Resolución de problemas.
PRIMER NIVEL:
Problema 1: Se hace la lista de todos los números de 5 cifras distintas que se forman con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. En esta lista los números están ordenados de menor a mayor. Hallar el número que ocupa la posición número 100 de la lista.
Problema
2: Sea ABC un
triángulo. La bisectriz del ángulo B corta al lado AC en D y la bisectriz del
ángulo C corta al lado AB en E. Sea O el punto en el que se cortan estas dos
bisectrices. Si EOD = 110°, calcular la medida del ángulo Â.
Problema
3: En los vértices de
un cubo hay que escribir con azul los números enteros de 1 a 8 inclusive, sin
repeticiones. A continuación, en cada arista se escribe con rojo la diferencia
de los números azules de sus dos extremos (el mayor menos el menor). Distribuir
los números azules para que la cantidad de números rojos distintos sea la menor
posible.
Problema 4: Sean ABC un triángulo y D un punto
del lado BC tal que ADB=70º y DAC=28º. En la prolongación del lado AC se marca
el punto E tal que CD=CE (C queda entre A y E). Calcular la medida del ángulo
BDE.
martes, 29 de abril de 2014
APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES
USOS Y APLICACIONES:
Teorema de Thales
Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que seasemejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos)
a)Primer teorema:
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula:
COROLARIO
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:
Otra variante del Teorema de Tales
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):
Si dos rectas cualesquiera (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).
b)Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Figura 1.
Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
Figura 2.
Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.
COROLARIOS
Corolario 1
“En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa.”
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.
Corolario 2
“La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza
Relación entre áreas y razón de semejanza. Si el triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C' y la razón de semejanza es r, entonces la razón entre sus áreas es r^2. Más precisamente, se tiene que:
Si ABA′B′=BCB′C′=CAC′A′=k entonces A´rea(ABC)A´rea(A′B′C′)=k2
Es posible probar este resultado usando sólo el hecho de que el área de un triángulo es "base por altura sobre dos", pero es más fácil si usamos que el área es "la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo comprendido entre ellos", en fórmula:
A´rea(ABC)=AB⋅AC⋅sen(α)2A´rea(A′B′C′)=A′B′⋅A′C′⋅sen(α)2
Donde α es el ángulo en el vértice A; que es igual al ángulo en el vértice A', por la semejanza. De éstas igualdades es fácil terminar, sólo dividimos y ya:
A´rea(ABC)A´rea(A′B′C′)=AB⋅AC⋅sen(α)2A′B′⋅A′C′⋅sen(α)2=AB⋅ACA′B′⋅A′C′=ABA′B′⋅ACA′C′=k⋅k=k2
Otro uso pero al revés
No es muy difícil esta la técnica empleada para resolver una variedad de problemas del tipo: encontrar el área de una figura, conociendo que otras son semejantes.
Pero también podemos resolver problemas en la otra dirección, donde las áreas son dadas y las medidas son las buscadas. Por ejemplo:
(ACCB)2=A´rea(ADC)A´rea(CDB)=4010=4
En consecuencia:
Conclusiones.
Como vimos, esta relación es útil. Y requiere de práctica reconocer cuándo usarla, pero es importante tenerla en cuenta cuando se quieran abordar problemas de este tipo.
Por otro lado, me gustaría compartiles la siguiente observación a todos los olímpicos nuevos.
Tal vez muchos de ustedes han escuchado que para la olimpiada sólo se requiera genialidad, y en parte es cierto, pero también se requiere estudiar.
Para ser un buen olímpico es necesario aprender este tipo de resultados y muchos otros. Pues, como vieron, el no saber un resultado como este implica tener que esforzarse más en el examen, pues tendrán que suplir esa carencia con algo de genialidad. Conforme vayan escalando posiciones en la olimpiada, incrementa muchísimo la cantidad de teoremas que deben saber. Y, de no sabérselos, no les va alcanzar la genialidad para suplir tantas carencias.
En resumen, se necesita genialidad y estudio. Así que, pongan mucha atención a todo lo que se le enseñe, todo es valioso, aunque no lo noten al principio.
Teorema de Thales
Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que seasemejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos)
a)Primer teorema:
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula:
COROLARIO
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:
Otra variante del Teorema de Tales
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):
Si dos rectas cualesquiera (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).
b)Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Figura 1.
Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
Figura 2.
Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.
COROLARIOS
Corolario 1
“En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa.”
Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.
Corolario 2
“La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza
Relación entre la razón de semejanza y la razón de áreas
Relación entre áreas y razón de semejanza. Si el triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C' y la razón de semejanza es r, entonces la razón entre sus áreas es r^2. Más precisamente, se tiene que:
Es posible probar este resultado usando sólo el hecho de que el área de un triángulo es "base por altura sobre dos", pero es más fácil si usamos que el área es "la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo comprendido entre ellos", en fórmula:
Otro uso pero al revés
No es muy difícil esta la técnica empleada para resolver una variedad de problemas del tipo: encontrar el área de una figura, conociendo que otras son semejantes.
Pero también podemos resolver problemas en la otra dirección, donde las áreas son dadas y las medidas son las buscadas. Por ejemplo:
Para resolver este problema, primero hay que notar que los triángulos ADC y CDB son semejantes. Entonces, podemos usar la relación aprendida:El triángulo rectángulo ABC, de la siguiente figura, está dividido en dos triángulos rectángulos de áreas 40 y 10 respectivamente, ¿cuáles son las medidas del triángulo ABC?
En consecuencia:
AC/CB=2. Además, (AC⋅CB)/2=A´rea(ABC)=50. De estas dos identidades ya es posible encontrar las medidas de AC y CB; AC=10√2 y CB=5√2. Luego, por Pitágoras, AB=5√10
Si no conociéramos la relación entre las áreas y la razón de semejanza, nos costaría más trabajo resolver el problema. Exploren otras posibilidades y verán que cualquier otra requiere de más trabajo.
Si no conociéramos la relación entre las áreas y la razón de semejanza, nos costaría más trabajo resolver el problema. Exploren otras posibilidades y verán que cualquier otra requiere de más trabajo.
Conclusiones.
Como vimos, esta relación es útil. Y requiere de práctica reconocer cuándo usarla, pero es importante tenerla en cuenta cuando se quieran abordar problemas de este tipo.
Por otro lado, me gustaría compartiles la siguiente observación a todos los olímpicos nuevos.
Tal vez muchos de ustedes han escuchado que para la olimpiada sólo se requiera genialidad, y en parte es cierto, pero también se requiere estudiar.
Para ser un buen olímpico es necesario aprender este tipo de resultados y muchos otros. Pues, como vieron, el no saber un resultado como este implica tener que esforzarse más en el examen, pues tendrán que suplir esa carencia con algo de genialidad. Conforme vayan escalando posiciones en la olimpiada, incrementa muchísimo la cantidad de teoremas que deben saber. Y, de no sabérselos, no les va alcanzar la genialidad para suplir tantas carencias.
En resumen, se necesita genialidad y estudio. Así que, pongan mucha atención a todo lo que se le enseñe, todo es valioso, aunque no lo noten al principio.
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